انحنای زمین

افق و پنهان شدن

از چشم ناظر خطی می‌گذرد که درست به سطح زمین مماس است؛ نقطهٔ تماس همان افق است. هر چیزی آن سوی افق، پایینش زیر همین خط می‌ماند. هرچه دورتر، بخش بیشتری از پایین هدف پنهان می‌شود و هرچه چشم بالاتر، افق دورتر می‌رود.

بلندی پنهان این است، با s فاصله روی زمین و s_h فاصلهٔ افق:

h_hidden = R′ · (sec((s − s_h) / R′) − 1),   s_h = R′ · acos(R′ / (R′ + h))

افت، نه پنهان

قاعدهٔ مشهور «۸ اینچ در مایلِ به توان دو» (حدود ۷٫۸ سانتی‌متر در کیلومترِ به توان دو) فقط افت سطح زمین زیر خط افقی چشمی است که روی خود زمین باشد. بلندی چشم را در نظر نمی‌گیرد و از همین رو بسیار بیشتر از آنچه واقعاً پنهان می‌شود نشان می‌دهد. هر دو عدد در جدول بالا هست تا فرقشان را ببینی.

شکست نور

هوا نزدیک زمین چگال‌تر است، پس پرتو نور کمی رو به پایین خم می‌شود و ما کمی آن سوی افق هندسی را می‌بینیم. ضریب k خمیدگی پرتو را نسبت به خمیدگی زمین می‌گوید؛ در هوای معمول روز حدود ۰٫۱۳ است. اثرش مثل این است که زمین بزرگ‌تر باشد:

R′ = R / (1 − k),   k = 503 · P / T² · (0.0343 + dT/dh)

اگر هوای گرم روی آب سرد بنشیند (وارونگی دما)، k از ۱ می‌گذرد: نور هم‌پای زمین خم می‌شود، افق از بین می‌رود و چیزهای پشت انحنا بالا می‌آیند؛ همان سراب برتر که کشتی را شناور در آسمان نشان می‌دهد. وقتی سطح زمین داغ است، k منفی می‌شود و چیزها فرو می‌روند.

حدود این مدل

• زمین کره‌ای هموار است، بی کوه و دره میان ناظر و هدف. ارتفاع‌ها از سطح همان آب یا دشت سنجیده می‌شوند.
• شکست نور در همهٔ مسیر یکسان فرض شده است. در لایه‌های ناهمگن هوا تصویر می‌تواند فشرده، کش‌آمده یا دوتایی شود.
• شعاع «همین عرض و راستا» شعاع خمیدگی بیضی‌گون WGS84 در همان راستای نگاه است، و برای فاصله‌های تا چند صد کیلومتر بسیار دقیق است.