از هزاران سال نوری دورتر چطور می‌فهمیم دور یک ستاره سیاره‌ای می‌چرخد؟

روش گذر. اگر مدار سیاره از دید ما لبه‌به‌لبه باشد، سیاره در هر دور یک بار از جلوی ستاره می‌گذرد و بخش کوچکی از نورش را می‌پوشاند. کسری که کم می‌شود همان نسبت مساحت دو قرص است، (Rp/Rs)²: زمین جلوی خورشید فقط ۸۴ ppm (حدود یک دوازده‌هزارم) و مشتری حدود ۱٪ از نور را می‌گیرد. از عمق افت، اندازهٔ سیاره را می‌خوانیم و از فاصلهٔ افت‌ها، دوره را. لبهٔ ستاره کم‌نورتر از مرکز آن است («تاریکی لبه»)، پس افت ته صاف ندارد و شکل U دارد. شیب را چند درجه کم کنید: سیاره از بالای ستاره رد می‌شود و گذر ناپدید می‌شود. برای همین فقط بخش کوچکی از سیاره‌ها از دید ما گذر دارند.

روش سرعت شعاعی. سیاره دور ستاره نمی‌چرخد، هر دو دور مرکز جرم مشترکشان می‌چرخند. ستاره در مداری خیلی کوچک تکان می‌خورد و وقتی به ما نزدیک می‌شود خط‌های طیفش کمی به سوی آبی و وقتی دور می‌شود به سوی سرخ می‌روند (اثر دوپلر). مشتری خورشید را با سرعت ۱۲٫۵ متر بر ثانیه و زمین فقط با ۹ سانتی‌متر بر ثانیه تکان می‌دهد. این روش جرم سیاره را می‌دهد (دقیق‌تر، جرم ضرب در سینوس شیب)، و دو روش با هم چگالی را: سنگی، آبی یا گازی. نخستین سیارهٔ دور یک ستارهٔ خورشیدمانند، 51 Pegasi b، در ۱۹۹۵ با همین روش پیدا شد.

هر سیاره روی مدار کپلری خودش دور ستاره می‌چرخد: دوره از قانون سوم کپلر و جرم ستاره و سیاره به دست می‌آید و جای سیاره در هر لحظه از حل معادلهٔ کپلر، پس مدار کشیده هم درست است. ستاره و هر سیاره دور مرکز جرم مشترکشان می‌چرخند. اثر گرانشی سیاره‌ها روی یکدیگر (که در TRAPPIST-1 زمان گذرها را از چند دقیقه تا ده‌ها دقیقه جابه‌جا می‌کند) در این صحنه نیامده است، و نور خود سیاره و پنهان شدنش پشت ستاره هم نه. شیب ۹۰ درجه یعنی مدار را از لبه می‌بینیم. ستاره از دید زمین، ستاره و سیاره را به یک مقیاس نشان می‌دهد؛ نمای از بالا فاصله‌ها را به مقیاس دارد، ولی تکان ستاره را تا ده‌ها هزار بار بزرگ کرده تا دیده شود (ضریبش در گوشهٔ همان نما آمده است). مدت گذر از خود مدار حساب می‌شود، از نخستین تا آخرین تماس، پس در مدار کشیده و گذر لبه‌ای هم درست است.

نوری که سیاره می‌پوشاند با تاریکی لبهٔ ستاره حساب می‌شود: روشنایی هر حلقهٔ قرص ستاره با قانون درجهٔ دوم تاریکی لبه (ضریب‌هایش تقریبی و از دمای ستاره) در بخشی از آن حلقه که پشت سیاره است ضرب و جمع زده می‌شود. برای همین افت ته صاف ندارد: در میانهٔ گذر کمی ژرف‌تر از ⁦(Rp/Rs)²⁩ است و نزدیک لبه کم‌عمق‌تر. سرعت شعاعی ستاره ⁦K·[cos(ω+f) + e·cos ω]⁩ است و نیم‌دامنه‌اش K از جرم سیاره، جرم ستاره، دوره، شیب و خروج از مرکز. هر نقطهٔ منحنی نور میانگین نور در بازهٔ زمانی خودش است، مثل یک عکس با نوردهی طولانی، به‌علاوهٔ نویزی تصادفی ولی ثابت که با جابه‌جا شدن صحنه عوض نمی‌شود. منطقهٔ زیست‌پذیر از رابطه‌های کوپاراپو و همکاران (۲۰۱۴) برای سیاره‌ای هم‌جرم زمین است، با مرزهای محافظه‌کارانه‌اش: از گلخانهٔ گریزان تا بیشینهٔ گلخانه. دمای تعادلی برای بازتاب ۳۰ درصدی و گرمایی است که یکنواخت روی سیاره پخش شود، بی اثر گلخانه‌ای؛ این دما و نور دریافتی برای مدار کشیده میانگین یک دور کامل‌اند.

زمان آهسته می‌شود وقتی سیارهٔ انتخاب‌شده از جلوی ستاره می‌گذرد، چون گذر زمین سیزده ساعت از یک سال است و با سرعت یکنواخت در یک چشم بر هم زدن رد می‌شد؛ نوار زیر دکمهٔ پخش می‌گوید زمان چقدر تند می‌رود. عددهای TRAPPIST-1، Kepler-186، HD 209458 و 51 Pegasi از بایگانی سیاره‌های فراخورشیدی ناسا (پارامترهای ترکیبی) آمده‌اند و ω همه‌جا ۹۰ درجه گرفته شده است، چون خروج از مرکز این سیاره‌ها آن‌قدر کوچک است که ω اثر دیدنی ندارد. جای هر سیاره روی مدارش در آغاز صحنه برای نمایش انتخاب شده، نه از زمان‌های واقعی گذر؛ جرم سیاره‌های Kepler-186 تخمینی از رابطهٔ جرم و شعاع است، نه اندازه‌گیری. در «خودتان پیدا کنید» ستاره و سیاره تصادفی‌اند و شمارهٔ آن‌ها در نشانی صفحه است، پس سامانه‌ای را که پیدا کرده‌اید می‌توانید برای دیگری بفرستید. میانهٔ گذر با کمینه‌کردن فاصلهٔ تصویر سیاره از مرکز ستاره در نیم‌مدار روبه‌ناظر پیدا می‌شود؛ زاویهٔ ۹۰°−ω برای مدار بیضیِ مایل فقط تقریب است. برهم‌کنش گرانشی سیاره‌ها و پوشاندن هم‌زمان یک بخش از قرص ستاره توسط چند سیاره مدل نشده‌اند؛ مدارهای برخوردکننده با ستاره نیز سامانهٔ پایدار واقعی نیستند.