اگر خودتان یک منظومه بسازید، سیاره‌هایش در مدار می‌مانند یا پرت می‌شوند؟

هر سیاره همیشه به سوی ستاره‌اش می‌افتد؛ فقط آن‌قدر به پهلو تند می‌رود که هر بار از کنارش رد می‌شود. اگر سرعت پهلویی‌اش درست √(GM/r) باشد، مدار دایره است؛ کمتر باشد، بیضی‌ای که به ستاره نزدیک‌تر می‌شود؛ بیشتر، بیضی‌ای که دورتر می‌رود؛ و به √۲ برابرِ آن برسد، دیگر برنمی‌گردد. این همان دو حلقه‌ای است که هنگام کشیدن می‌بینید. قانون سوم کپلر از همین می‌آید: دورهٔ مدار به نیم‌قطر بزرگ و جرم ستاره بسته است، و جرم خود سیاره، که در برابر ستاره ناچیز است، تقریباً اثری ندارد.

در منظومهٔ واقعی هر جرم همهٔ جرم‌های دیگر را هم می‌کشد. این کشش‌های کوچک بیشترِ وقت‌ها خنثی می‌شوند، ولی وقتی دوره‌ها نسبت ساده‌ای دارند (۲:۱، ۳:۲) هر بار در همان نقطه تکرار می‌شوند و روی هم جمع می‌شوند: گاهی مدارها را قفل می‌کنند، مثل پلوتو و نپتون، و گاهی سیارک‌ها را می‌رانند، مثل شکاف‌های کرکوود. سه جرم هم‌اندازه معمولاً آشوبناک‌اند: گذر نزدیکی انرژی جابه‌جا می‌کند و یکی بیرون پرت می‌شود. منظومهٔ ما هم به معنای دقیق آشوبناک است، ولی چون خورشید هزار برابر سنگین‌تر از مشتری است و سیاره‌ها از هم دورند، مدارها میلیاردها سال سر جایشان مانده‌اند.

صحنه از بالا به صفحهٔ مدارها نگاه می‌کند و همه چیز با یکاهای واحد نجومی، سال و جرم خورشید حساب می‌شود. هر جرم همهٔ جرم‌های دیگر را با قانون گرانش نیوتن می‌کشد (مسئلهٔ N جسم) و حرکت با روش «جهش قورباغه» (leapfrog یا ورله سرعت) پیش می‌رود: با گام ثابت، روشی سمپلکتیک و متقارن در زمان که انرژی را در هزاران دور نگه می‌دارد و فقط کمی در آن نوسان می‌کند. گام زمانی اینجا کسری از کوتاه‌ترین زمانِ مداری یا گذر میان جفت‌هایی است که بر هم اثر محسوس دارند، پس گذر نزدیک با گام‌های ریز حساب می‌شود؛ ولی گام فقط با ضریب دو و با فاصلهٔ اطمینان عوض می‌شود و میان دو تغییر ثابت می‌ماند، و هر فریم فقط گام‌های کامل می‌رود. هر جا گام عوض شود آن ضمانت کمی می‌شکند، و نمودار خطا همین را نشان می‌دهد. اگر کار زیاد شد، زمانِ صحنه کندتر می‌رود تا دقت نرود. زمانِ وارونه همان روش با گام منفی است: جسم‌ها راه آمده را برمی‌گردند، تا جایی که گام عوض نشده دقیقاً و پس از آن در حد خطای خود روش؛ ولی برخورد و ازهم‌پاشیدن برنمی‌گردد. نمودار زیر پنل خطای نسبی انرژی کل و تکانهٔ زاویه‌ای را از آخرین تغییر نشان می‌دهد؛ در منظومهٔ شمسی درونی پس از صد دور زمین کمتر از یک‌میلیونیم است.

دو جرم که سطحشان به هم برسد یکی می‌شوند و جرم و تکانه‌شان پایسته می‌ماند (انرژی برخورد گرما می‌شود و از حساب بیرون می‌رود)؛ برخورد در طول راهی که هر جفت در یک گام رفته سنجیده می‌شود، پس جسم تند از میان دیگری نمی‌جهد. شعاع هر جرم از جرم و چگالی‌اش می‌آید و حجم جرم ادغام‌شده جمع دو حجم است. درخشندگی، شعاع، دما و ردهٔ طیفی ستاره از جدول ستاره‌های رشتهٔ اصلی Pecaut و Mamajek (۲۰۱۳) خوانده می‌شود، عمرش روی رشتهٔ اصلی از مدل‌های Hurley و همکاران (۲۰۰۰)، و رنگش از طیف جسم سیاه با منحنی‌های رنگ چشم. خورشید پیش‌ساخته‌ها خورشید امروز است. کمربند زیست‌پذیر کمربند محافظه‌کارانهٔ Kopparapu و همکاران (۲۰۱۳ و ۲۰۱۴) است، از مرز «گلخانهٔ گریزان» تا «بیشینهٔ گلخانه» برای سیاره‌ای هم‌جرم زمین، با دمای ستاره؛ برای خورشید ۰٫۹۵ تا ۱٫۶۸ واحد نجومی. جرم کوچکی که فقط گرانش خودش آن را نگه می‌دارد (سیال یا تودهٔ سنگ‌ریزه) و به درون حد روشِ سیالِ جرمی دست‌کم بیست برابر سنگین‌تر برود (۲٫۴۴ برابر شعاع آن، ضرب در ریشهٔ سوم نسبت چگالی‌ها) به دوازده پاره تقسیم می‌شود؛ کشند سرعت پاره‌ها را اندکی از هم جدا می‌کند و آن‌ها در طول مدار پخش می‌شوند و حلقه می‌سازند. سنگ سخت و کوچک با استحکام خودش تا نزدیک‌تر هم دوام می‌آورد. جرمی که انرژی‌اش نسبت به بقیهٔ منظومه مثبت باشد، از دو برابر اندازهٔ منظومه دورتر رفته باشد و دور شود «پرتاب‌شده» نشان داده می‌شود.

ساده‌سازی‌ها: همه چیز روی یک صفحه است و شیب مدارها (که در منظومهٔ شمسی چند درجه است) کنار گذاشته شده؛ پیش‌ساخته‌ها از عنصرهای مداری واقعی (JPL در J2000، کپلر-۱۶ از Doyle و همکاران ۲۰۱۱، TRAPPIST-1 از Agol و همکاران ۲۰۲۱، مدار هشتی Chenciner و Montgomery ۲۰۰۰) روی همین صفحه ساخته شده‌اند. اثرهای نسبیت، کشند، تابش و گاز قرص در کار نیستند و ستاره‌ها پیر نمی‌شوند. در قرص پیش‌سیاره‌ای شعاع برخورد ۲۰۰ برابر و در شکاف‌های کرکوود جرم مشتری ۱۰ برابر شده تا آنچه در صدها هزار یا میلیون‌ها سال رخ می‌دهد در چند دقیقه دیده شود (مشتری سنگین‌تر شکاف‌ها را پهن‌تر هم می‌کند)، و سیارکی که مدارش از مدار مریخ یا نزدیکی مشتری بگذرد از نمودار برداشته می‌شود، چون دیر یا زود با آن‌ها برخورد می‌کند یا رانده می‌شود. همه چیز در مرورگر شما حساب می‌شود و منظومه‌ای که می‌سازید فقط در نشانی همین صفحه (بعد از #) می‌ماند. اشتراک صحنهٔ اجراشده موقعیت و سرعت فعلی را ذخیره می‌کند و ساعت صحنهٔ گیرنده از صفر آغاز می‌شود؛ گذشتهٔ برخوردها و نمودار خطا منتقل نمی‌شود. کمربند زیست‌پذیر تضمین آب یا حیات نیست.