ابزارریاضی
ماتریس و بردار
دترمینان، وارون و شکل سطری پلکانی گام‌به‌گام، رتبه، چندجملهای مشخصه و مقدار و بردار ویژه، جمع و ضرب و توان ماتریس‌ها تا ۶×۶؛ و ضرب داخلی و خارجی، طول، زاویه و تصویر بردارها.
ماتریس‌ها
درایه‌ها می‌توانند عدد، کسر (۱/۲)، اعشار یا عبارتی مثل √۲ و π باشند.
ابزار در مرورگر شما آماده میشود…
با A:
با A و B:
بردارها
روش
چطور کار می‌کند
دو ماتریس A و B را تا اندازهٔ ۶ × ۶ می‌توانید بسازید و تعداد سطر و ستون هر کدام را خودتان انتخاب کنید. درایه‌ها می‌توانند عدد صحیح، کسر مثل ۱/۲، اعشاری یا عبارتی مانند √۲ و π باشند و ارقام فارسی و لاتین هر دو پذیرفته میشوند. دکمه‌هایی هم هست که ماتریس را با ماتریس همانی، صفرها یا عددهای صحیح تصادفی پر میکنند.
با ماتریس A می‌توان دترمینان، وارون، مقدارها و بردارهای ویژه، شکل سطری پلکانی کاهش‌یافته، رتبه، ترانهاده، توان صحیح Aⁿ (توان منفی از راه وارون) و kA را حساب کرد. با دو ماتریس A و B هم جمع، تفریق و ضرب A × B و B × A ممکن است، به شرط اینکه اندازه‌ها جور باشند: برای A × B تعداد ستون‌های A باید با تعداد سطرهای B برابر باشد. ضرب ماتریس‌ها عموماً جابه‌جایی‌پذیر نیست و A × B با B × A یکی نیست.
نتیجه جایی که کسر است بهصورت کسر نشان داده میشود و مراحل دترمینان و وارون گام‌به‌گام دیده میشوند. همهٔ محاسبه‌ها در مرورگر خودتان انجام میشود و ماتریس‌ها را می‌توان در نشانی صفحه گذاشت تا با دیگران به اشتراک بگذارید. در بخش بردارها هم می‌توانید دو بردار u و v را تا ۶ بعد با درایه‌های جداشده با ویرگول وارد کنید و طول، ضرب داخلی، زاویه، ضرب خارجی و تصویر را ببینید.
محاسبات اعشاری‌اند؛ برای ماتریسهای نزدیک به تکین یا با اختلاف شدید مقیاس، رتبه، وارون و مقدار ویژه ممکن است حساس به گردکردن باشند.
پرسش‌های رایج
دترمینان ماتریس ۳ در ۳ را چطور حساب کنیم؟
برای ماتریس ۳ × ۳ از قاعدهٔ ساروس استفاده میشود: سه حاصلضرب با هم جمع و سه حاصلضرب دیگر از آن کم میشود و ابزار هر کدام از این حاصلضربها را نشان میدهد. برای ماتریس ۲ × ۲ دترمینان همان ad − bc است.
دترمینان ماتریسهای بزرگتر از ۳ در ۳ چگونه به دست میآید؟
با حذف گاوسی ماتریس را پلکانی میکنند و حاصلضرب قطر اصلی را میگیرند. به ازای هر جابهجایی سطر، علامت یک بار عوض میشود و مراحل در ابزار نشان داده میشوند.
وارون ماتریس چطور به دست میآید؟
با روش گاوس–جردن روی ماتریس [A | I]: وقتی سمت چپ به ماتریس همانی تبدیل شد، سمت راست همان A⁻¹ است. هر مرحله، یعنی جابهجایی سطرها، تقسیم یک سطر و صفر کردن ستون، بهصورت ماتریسی از کسرها نمایش داده میشود.
چه ماتریسی وارون ندارد؟
فقط ماتریس مربعی که دترمینانش صفر نباشد وارون دارد. دترمینان صفر یعنی سطرها مستقل نیستند و ماتریس وارونپذیر نیست.
مقدار ویژه چیست؟
مقدارهای ویژه ریشههای چندجملهای مشخصهٔ det(λI − A) هستند و برای هر مقدار ویژهٔ حقیقی، بردارهای ویژه جوابهای (A − λI)v = 0 هستند. مثلاً برای A = [[2, 1], [1, 2]] چندجملهای مشخصه λ² − 4λ + 3 است، مقدارهای ویژه ۱ و ۳ هستند و بردارهای ویژه (−۱، ۱) و (۱، ۱) به دست میآیند.
ضرب خارجی دو بردار چیست؟
ضرب خارجی u × v برای بردارهای سهبعدی تعریف میشود و برداری است که طولش برابر مساحت متوازیالاضلاعی است که u و v میسازند. ابزار این بردار و مساحت را همراه طول، ضرب داخلی، زاویه و تصویر u روی v نشان میدهد.
ابزار
ابزارهای دیگر
- ماشینحساب فارسیحساب را همانطور که حرف میزنید بنویسید: عدد با حروف، درصد، توان و ریشه، تبدیل تومان و ریال، حل معادله. جواب همان لحظه میآید.
- فرمولنویس هوشمندفرمول را همانطور که حرف میزنید بخواهید («حجم کره»، «انتگرال سینوس ایکس از صفر تا پی») و تصویر تمیزش را به PNG یا SVG بردارید.
- مبدل واحدهای نجومیکیلومتر، واحد نجومی، سال نوری و پارسک را به هم برگردانید و ببینید نور چقدر در راه است.
- مبدل تاریخ شمسی، میلادی و قمرییک روز را در هر سه تقویم ببینید: شمسی از روی اعتدال بهاری، قمری همانطور که در ایران با رؤیت هلال آغاز میشود، و میلادی؛ با روز هفته، روز چندم سال و فاصله تا امروز.
- فاصلهٔ دو تاریخچند روز میان دو تاریخ است، به هفته و به سال و ماه و روز؛ و صد روز بعد از یک تاریخ چه روزی است. هر تاریخ در هر تقویمی.
- محاسبهٔ سن دقیقسن دقیق به سال و ماه و روز از تاریخ تولد شمسی، میلادی یا قمری، روزهایی که گذشته، روز هفتهٔ تولد، تولد بعدی، و سن شما روی مریخ و مشتری.
- تقویم سالتقویم کامل هر سال شمسی از ۱۳۰۰ تا ۱۴۵۰ با روز میلادی و قمری هر روز، لحظهٔ تحویل سال و چهار فاز اصلی ماه.
- رسم نمودار تابعتابع را همانطور که روی کاغذ مینویسید بدهید (sin x، x² − ۲، ۱/x، r = ۱ + cos θ) و نمودارش را ببینید؛ با ریشهها، بیشینه و کمینه و نقطههای برخورد، کشیدن و بزرگنمایی با انگشت، و خروجی تصویر.
- حل معادلهمعادله را همانطور که روی کاغذ مینویسید بدهید: درجهٔ یک و دو گام‌به‌گام با مبیّن و جواب دقیق رادیکالی، تا درجهٔ ده همهٔ ریشههای حقیقی و مختلط، دستگاه خطی تا شش مجهول با حذف گاوسی، و هر معادلهٔ دیگر به روش عددی.
- آمار و احتمالمیانگین، میانه، مد، انحراف معیار، چارکها، دادهٔ پرت، نمودار فراوانی و جعبهای از هر فهرست عدد؛ رگرسیون خطی و همبستگی؛ و احتمال در توزیع نرمال، تی، خیدو، دوجملهای و پواسون، با مقدار بحرانی و p.
- ب.م.م و ک.م.مبزرگترین مقسومعلیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک چند عدد، با گامهای الگوریتم اقلیدس و سادهکردن کسر؛ با عددهای صحیح دقیق از هر اندازه.
- تجزیه به عوامل اولهر عدد را به عاملهای اولش بشکنید و ببینید اول است یا نه؛ با شمار و مجموع مقسومعلیهها، تابع اویلر، عدد اول قبلی و بعدی؛ تا چهل رقم.
- تبدیل مبناعدد را میان دودویی، هشتهشتی، دهدهی، شانزدهشانزدهی و هر مبنای ۲ تا ۳۶ تبدیل کنید، با علامت منفی و ممیز و رقمهای تکرارشونده.
- اعداد رومیعدد را به رومی و رومی را به عدد برگردانید، از ۱ تا ۳۹۹۹، با تجزیهٔ هر حرف؛ مثل ۱۴۰۵ = MCDV.
- ترکیب و جایگشتشمار راههای انتخاب و چیدن: ترکیب و جایگشت، با و بی تکرار، و فاکتوریل؛ دقیق تا آخرین رقم، حتی برای عددهای صدرقمی.
- وزن شما روی سیارههاروی ماه، مریخ، مشتری و خورشید چند کیلو هستید و چقدر بالا میپرید؟ با گرانش سطح هر سیاره و ماه، از جدولهای ناسا.
- نور سال تولد شمانوری که روز تولد شما راه افتاد تا امروز کجا رسیده؟ و نور کدام ستاره که همان سال راه افتاد همین روزها به چشم شما میرسد؟
- قدر و درخشندگی ستارههر ۵ قدر یعنی ۱۰۰ برابر: درخشندگی دو ستاره را مقایسه کنید، و از قدر ظاهری و فاصله، قدر مطلق و تابندگی ستاره را حساب کنید.
- زمان سفر در فضابا پای پیاده، خودرو، هواپیما، ویجر و سرعت نور، تا ماه، هر سیاره (با فاصلهٔ همین حالا)، نزدیکترین ستارهها و کهکشان آندرومدا چقدر راه است؟
- محاسبهٔ شاخص تودهٔ بدنی (BMI)BMI شما چند است و در جدول سازمان جهانی بهداشت کجاست؟ با محدودهٔ وزن طبیعی برای قد شما، و آنچه این عدد نمیگوید.
- BMI کودک و نوجوانشاخص تودهٔ بدنی ۵ تا ۱۹ سال با صدک و نمرهٔ z از جدولهای مرجع رشد سازمان جهانی بهداشت، جدا برای دختر و پسر.
- کالری روزانه و انرژی پایهبدن شما در آرامش و در یک روز معمولی چقدر انرژی میسوزاند؟ با معادلهٔ میفلین–سنتجئور و پنج سطح فعالیت.
- درصد چربی بدنبرآورد درصد چربی بدن با یک متر نواری: دور گردن، کمر و باسن، به روش نیروی دریایی آمریکا.
- ضربان قلب هدفبیشینهٔ تخمینی ضربان و ناحیههای تمرین برای سن شما، با فرمول تاناکا و روش کاروونن، و جایی که این فرمولها خطا میکنند.
- آب مورد نیاز روزانهچقدر آب در روز کافی است؟ بازهٔ سازمان ایمنی غذای اروپا برای سن و جنس شما، از غذا و نوشیدنی، به لیتر و لیوان.
- مبدل واحدطول، جرم، مساحت، حجم، دما، سرعت، داده، انرژی، فشار و ده دستهٔ دیگر، هر عدد در همهٔ یکاهای دستهاش با هم؛ و یکاهای قدیمی ایرانی مثل مثقال، سیر، من، ذرع و فرسنگ.
- ساعت جهانیساعت زندهٔ شهرهای دنیا کنار تهران: اختلاف ساعت، روز یا شب، طلوع و غروب آفتاب؛ و برای هر شهر بزرگ صفحهای با ساعت تابستانی و جابهجایی بعدیاش.
- تبدیل ساعت و اختلاف ساعتساعت ۱۸ تهران در تورنتو چند است؟ ساعتی در یک شهر را برای هر روزی به ساعت شهر دیگر برگردانید و ببینید اختلاف دو شهر در طول سال کی عوض میشود.
- زمان مناسب جلسهساعتهای یک روز را در چند شهر کنار هم ببینید و ساعتی را پیدا کنید که همه در ساعت کاریاند؛ برای تماس با خانواده و همکار آن سوی دنیا.
- ظهر خورشیدی و زمان خورشیدیساعت رسمی در برابر خود خورشید: ظهر خورشیدی امروز شهر شما، معادلهٔ زمان، و اینکه چرا ظهر در مشهد زودتر از تبریز میرسد.
فلک‌بین
در گوشه‌های دیگر فلک‌بین
تصویر روز ناسا · سیارهابری بلند بر فراز مریخ
دانشمندان ایرانی · مهندسی مواد و فومهای فلزیافسانه ربیعیاو فوم فلزی مرکب، CMF، را توسعه داد: ساختاری شامل کرههای فلزی توخالی در یک زمینهٔ فلزی. گروه پژوهشیاش بررسی می‌کند چگونه این ساخ…
زمینزمین هماکنونگوی کامل زمین از اسکن ماهوارهای؛ حوالی ۱۱:۳۰ تهران. نمای ایران و دادههای روز در صفحهٔ گزارش.
زیر میکروسکوپسطح برگاین تصویر، سطح برگ گیاه آرابیدوپسیس را نشان میدهد. میان سلولهای نامنظم و شبیه تکههای پازل، چند شکاف بیضی دیده میشود. این شکاف…